Gọi H là nhóm con của nhóm G có phép toán được viết theo phép nhân (đứng kề nhau). Cho phần tử g thuộc G, các lớp kề trái của H trong G là các tập thu được bằng cách nhân từng phần tử thuộc H bằng một phần tử cố định g thuộc G (ở đây g là nhân tử trái). VIết bằng ký hiệu như sau:,

Các lớp kề phải được định nghĩa tương tựa, chỉ thay ở chỗ g bây giờ là nhân tử phải, có nghĩa là,

Bởi g là giá trị tùy ý trong nhóm, nên sẽ dễ bị lầm tưởng rằng sẽ có nhiều lớp kề (trái hoặc phải) được sinh ra. Song, qua chứng minh, ta nhận ra bất kỳ hai lớp kề trái (hoặc tương ứng hai lớp kề phải) hoặc không giao nhau hoặc bằng nhau.[1]

Nếu phép toán nhóm viết bằng phép cộng thì có thể đổi ký hiệu ở trên thành g + H hoặc H + g, tương ứng.

Ví dụ đầu

Gọi G là nhóm nhị diện cấp 6. Các phần tử của nó được biểu diễn bởi tập {I, a, a2, b, ab, a2b}. Trong nhóm này, a3 = b2 = I và ba = a2b. Bằng này đủ thông tin để điền toàn bộ bảng Cayley:

Gọi T là nhóm con {I, b}. Các lớp kề trái (phân biệt) của T là:

• IT = T = {I, b},
• aT = {a, ab}, và
• a2T = {a2, a2b}.

Bởi tất cả phần tử của G đều đã có xuất hiện trong một trong các lớp kề này. Nên dù có sinh thêm cũng sẽ không tạo ra thêm lớp kề mới, bởi lớp kề mới sẽ có một phần tử chung với một trong các lớp kề này và do đó bằng với lớp kề đó. Ví dụ chẳng hạn, abT = {ab, a} = aT.

Các lớp kề phải của T là:

• TI = T = {I, b},
• Ta = {a, ba} = {a, a2b} , và
• Ta2 = {a2, ba2} = {a2, ab}.

Trong ví dụ này, ngoại trừ T ra, không có lớp kề trái nào đồng thời là lớp kề phải cả.

Gọi H là nhóm con {I, a, a2}. Các lớp kề trái của H là IH = H và bH = {b, ba, ba2}. Các lớp kề phải của H là HI = H và Hb = {b, ab, a2b} = {b, ba2, ba}. Trong trường hợp này, mọi lớp kề trái của H cũng là lớp kề phải của H.[2]

Gọi H là nhóm con của G và ta giả sử rằng g1, g2 ∈ G. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương với nhau:[3]

• g1H = g2H
• Hg1−1 = Hg2−1
• g1H ⊂ g2H
• g2 ∈ g1H
• g1−1g2 ∈ H